【3分でわかる】中3数学「平方根」より分母の有理化

質問

$$    \frac{9}{ \sqrt{48}}$$

の有理化の仕方を教えてください。

まずは分母の√の中を簡単にする

$$\begin{eqnarray}\sqrt{48}&=& \sqrt{2\times2\times2\times2\times3}  \\ &=&  \sqrt{2^2\times2^2\times3} \\ &=&  \sqrt{2^2}\times\sqrt {2^2}\times\sqrt {3} \\ &=&  2\times2\times\sqrt{3} \\ &=&  4\sqrt{3}\end{eqnarray}$$

次に分母・分子に\(\sqrt{3}\)を掛け、約分する

$$\begin{eqnarray}\frac{9\times \sqrt{3}}{ 4\sqrt{3}\times\sqrt{3}}&=&\frac{9\sqrt{3}}{12}\\&=&\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray}$$

 

$$答え    \frac{3\sqrt{3}}{ 4}$$

分母の有理化

分数の分母に根号(ルート)を含んだ式を変形して、分母に根号を含まない形にすることを分母の有理化といいます。

①分母の√の中がこれ以上簡単にできない場合は、分母に同じ√の値を掛ける!

$$ \frac{2}{ \sqrt{3}}$$

の分母を有理化してみましょう。

まず分母の √3 はこれ以上 √ の中身が簡単にできませんよね?

その場合は分母と同じ √ を掛けましょう!

$$\begin{eqnarray}\frac{2}{ \sqrt{3}}&=&\frac{2\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\&=&\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{eqnarray}$$

 

②分母の√の中が簡単にできる場合は、簡単にしてから、その値を掛ける!

$$ \frac{5}{ \sqrt{12}}$$

の分母を有理化してみましょう。

次は分母の √12 は √ の中身が簡単にできます。

その場合は分母の √ の中を簡単にしましょう。

$$\begin{eqnarray}\sqrt{12}&=& \sqrt{2\times2\times3}  \\ &=&  \sqrt{2^2\times3} \\ &=&  \sqrt{2^2}\times\sqrt {3} \\ &=&  2\times\sqrt{3} \\ &=&  2\sqrt{3}\end{eqnarray}$$

すると

$$ \frac{5}{ 2\sqrt{3}}$$

となります。あとは分母の √3 を分母・分子に掛けてあげましょう。

$$\begin{eqnarray}\frac{5}{ 2\sqrt{3}}&=&\frac{5\times \sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}&=&\frac{5\sqrt{3}}{6}\end{eqnarray}$$

 

$$答え    \frac{5\sqrt{3}}{ 6}$$

練習問題

次の数の分母の有理化をしましょう。

$$ \frac{2}{ \sqrt{5}}$$

$$ \frac{3}{ \sqrt{8}}$$

答え

$$ \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

$$ \frac{3\sqrt{2}}{4}$$

本日もありがとうございました!
本日も最後まで読んでいただいてありがとうございました!今回は分母の有理化 🙂 練習問題で解き方を知りたい方はいつでも質問でしてくださいね!原則24時間以内には返信します!勉強以外の悩みでも、何でもご相談ください!
  

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ABOUTこの記事をかいた人

富永裕大

仙台市出身。1988年1月26日生まれ。28歳。当塾塾長。東京・宮城で10年の指導実績を有する。これまで様々な有名塾を渡り歩き、各教室で絶大な支持を得るも塾のあり方に疑問を持ち独立。現在は塾長として様々な生徒の成績アップを実現している。好きな食べ物はお寿司。