【3分でわかる】樹形図を使った確率の求め方

質問

数学の問題です。大小2つのサイコロがある。大きい方の目をa、小さい方の目をbとしたとき、(a-b)(a-4)=0となる確率はいくつですか?やり方を教えてください。

質問ありがとう 🙂 確率の問題ですね!中学で出てくる確率はただ一つ!樹形図さえ書ければいいんだよ。早速みていこう♪

 

中学校で習う確率は『樹形図さえかければよい』

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確率とは

テレビの天気予報などでも「今日の降水確率は50%です」など、かなり身近なところで使われている確率。

確率とは一言で言えば「事象の起こりやすさ」のこと。

事象が起こりやすければ、確率が高い

事象が起こりにくければ、確率が低い

というわけです。

そんな確率を中学2年生の数学で習うわけですが、苦手意識がある人も多いはず。でも「樹形図」さえ書ければ、中学校の確率の問題を非常に簡単に求めることができるのです。

数学で確率を解く場合、必ず押さえるのが、

 

$$    \frac{ある事柄が起こる場合の数}{全体の場合の数}    $$

 

サイコロを一回振って1が出る確率を考えてみよう

プレゼンテーション1

まず分母にあたる{全体の場合の数}について

サイコロを一回振ると出る目は全部で何通りあるでしょう〜?

そう、1〜6の6通りですね。

次に分子にあたる{ある事象が起こる場合の数}について

サイコロを一回振って1が出るのは何通り??

これは1通りですね。

だから今回の確率は

$$    \frac{ある事柄が起こる場合の数}{全体の場合の数}    $$

に当てはめて

$$    \frac{1}{6}    $$

となるんですね。

では大小二つのサイコロを振って出た目の和が5となる確率は?

プレゼンテーション1

まず分母にあたる{全体の場合の数}について

大小二つのサイコロを振ると全部で何通りの出方があるでしょう?

ん〜ちょっと考えにくいですよね。そこで力を発揮するのが樹形図なんです。

樹形図の書き方

樹形図とは効率的に全部の組み合わせを書き出す図のことをいいます。

大小二つのサイコロを振って出る目が何通りあるかを樹形図を使って考えてみましょう。

大のサイコロを振って出る場合の数はさっきと同じで6通りですね。

まずはそれをこのように書き並べます。

プレゼンテーション1

 

次に大のサイコロが1の時の小のサイコロの出方を考えます。

プレゼンテーション1

当然小のサイコロの出方も1〜6の6通り。それを大のサイコロが1の隣に書いてあげます。大のサイコロの1と結んであげると、1から枝分かれした図ができるでしょ?それが樹形図の由来です。

 

同様に大のサイコロが2〜6のときの小のサイコロについて書いてあげましょう。

プレゼンテーション1

 

これで出来上がり。

では問題に戻ります。

大小二つのサイコロを振って出た目の和が5となる確率は?

まず分母にあたる{全体の場合の数}について

先ほどの樹形図から全部で何通りあるか数えてみましょう。

まず大が1の場合を考えます。大が1、小が1を(1,1)と表すことにします。

大が1のとき小の出方

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

の6通りあることがわかります。

大が2〜6に対しても小はそれぞれ6通りあるので

6×6= 36

全体で36通りあることがわかりました。

次に分子にあたる{ある事象が起こる場合の数}について

これもさっき書いた樹形図を使えば簡単です。足して5になる部分に✔︎をつけていきましょう。

プレゼンテーション1

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

の4通りあることがわかりますね。

よって今回の確率は

$$    \frac{ある事柄が起こる場合の数}{全体の場合の数}    $$

にあてはめて

$$    \frac{4}{36}    $$

約分して

$$    \frac{1}{9}    $$

になるわけです。

質問の問題を解く

さぁ早速質問をこの樹形図を使って解いてみましょう。

数学の問題です。大小2つのサイコロがある。大きい方の目をa、小さい方の目をbとしたとき、(a-b)(a-4)=0となる確率はいくつですか?やり方を教えてください。

まず分母にあたる{全体の場合の数}について

プレゼンテーション1

となるので今回も

36通り

次に分子にあたる{ある事象が起こる場合の数}について

(a-b)(a-4) = 0

になるのが何通りを考えるわけですが、(a-b)(a-4)の間には×が省略されているので、(a-b)か(a-4)のどちらかもしくは両方が0のときに(a-b)(a-4)=0になるといえますね。

ではまず(a-b)=0となる場合を考えてみましょう。

a-b=0となるのはaとbが同じになるときですね!aとbが等しくなっているところに✔︎をつけると

プレゼンテーション1

のときはa-b=0になるわけです。

次に(a-4)が0となる場合を考えてみましょう。a-4=0となるのはaが4となるときなので、✔︎をつけると

プレゼンテーション1

となります。

 

最後に✔︎がついているものか✔︎がついているもの、もしくは両方ついているものを⚪︎で囲むと

プレゼンテーション1

全部で11通りあることがわかります。

よって確率は

$$    \frac{ある事柄が起こる場合の数}{全体の場合の数}    $$

にあてはめて

$$    \frac{11}{36}    $$

になります。

まとめ

中学二年生の数学で初めて出てくる「確率」

樹形図さえ書ければどんなに複雑な問題になっても必ず解くことができます。

そしてこの樹形図をしっかり使いこなせていれば、高校で習う確率にも対応できるようになりますよ。

本日もありがとうございました!
本日も最後まで読んでいただいてありがとうございました!確率の問題、難しそうだけど樹形図を使えばわかりやすくなりますよ!慣れてきたら頭の中で図をイメージして解くこともできるので、最初のうちはどんどん使ってみてくださいね!他にも疑問点があればいつでも質問でしてください!原則24時間以内には返信します!勉強以外の悩みでも、何でもご相談ください!
  

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ABOUTこの記事をかいた人

富永裕大

仙台市出身。1988年1月26日生まれ。28歳。当塾塾長。東京・宮城で10年の指導実績を有する。これまで様々な有名塾を渡り歩き、各教室で絶大な支持を得るも塾のあり方に疑問を持ち独立。現在は塾長として様々な生徒の成績アップを実現している。好きな食べ物はお寿司。