加法定理を用いた2倍角、半角、3倍角の公式の導き方

みなさん、こんにちは櫻學舎講師の小林亨です

今日は加法定理から導く二倍角の公式、半角の公式、三倍角の公式について話そうと思います。

1.加法定理の公式

まずは、加法定理についての確認です。

$$\begin{eqnarray}\sin (a±b) &=&\sin a\cdot  \cos b ± \cos a\cdot\sin b\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\cos (a±b) &=&\cos a\cdot  \cos b  ∓ \sin a\cdot\sin b\end{eqnarray}$$

$$\tan (a±b)=\frac{\tan a ±\tan b}{1 ∓\tan a\cdot\tan b}$$

 

これは絶対覚えてね!!語呂合わせがオススメです♪

sinの加法定理は「咲いたコスモス、コスモス咲いた♪」

cosの加法定理は「コスモスコスモス、咲いた咲いた♪」

tanの加法定理は「たんぷらたんの、まいたんたん♪たんまいたんの、ぷらたんたん♪」

もう頭から抜けなくなったでしょ笑

2.二倍角の公式の導き方

二倍角の公式は

$$\sin 2a=2\sin a\cos a$$

$$\begin{eqnarray}\cos 2a&=&\cos^2 a -\sin^2 a\end{eqnarray}$$

$$=1-2\sin^2 a$$

$$=2\cos^2 a-1$$

$$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$$

 

「こんなの覚えられない・・・」ていうそこのあなた!

加法定理さえ覚えておけば、実は二倍角の公式は導くことができるんです。

上の加法定理より、sinは

$$\begin{eqnarray}\sin 2a&=&\sin (a+a) &=&\sin a\cdot  \cos a + \cos a\cdot\sin a\end{eqnarray}$$

$$=2\sin a\cos a$$

cosは

$$\begin{eqnarray}\cos 2a&=&\cos (a+a) &=&\cos a\cdot  \cos a – \sin a \cdot\sin a\end{eqnarray}$$

$$=\cos^2 a -\sin^2 a$$

cosの二乗とsinの二乗を足すと1になることから、上の式を書き換えると

$$\begin{eqnarray}=1-2\sin^2 a\end{eqnarray}$$

$$=2\cos^2 a-1$$

となります。最後にtanは

$$\begin{eqnarray}\tan 2a &=&\tan (a+a)=\frac{\tan a +\tan a}{1-\tan a\cdot\tan a} &=&\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}\end{eqnarray}$$

のように導くことができます。

 

3.半角の公式の導き方

今度は半角の公式です。

$$\begin{eqnarray}\cos^2 \frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\sin^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\tan^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{1+cos a}\end{eqnarray}$$

 

これも少し覚えにくいですね。ですが、cosの二倍角の公式

$$\begin{eqnarray}\cos 2a&=1-2\sin^2 a=2\cos^2 a-1\end{eqnarray}$$

を使うことで簡単に求めることができます。では実際にやってみます。最初に

$$a=\frac{a’}{2}$$

とします。これを上のcosの二倍角の公式に代入していきます。まずはsinの半角の公式です

$$\begin{eqnarray}\cos 2\cdot\frac{a’}{2}&=&1-2\sin^2 \frac{a’}{2}\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\cos a’&=&1-2\sin^2 \frac{a’}{2}\end{eqnarray}$$

この式を整理すると

$$\begin{eqnarray}\sin^2 \frac{a’}{2}=\frac{1-\cos a’}{2}\end{eqnarray}$$

となります。これでsinの半角の公式が導き出せました。cosも同様に

$$\begin{eqnarray}\cos 2\cdot\frac{a’}{2}&=&2\cos^2 \frac{a’}{2}-1\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\cos a’&=&1-2\sin^2 \frac{a’}{2}\end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\sin^2 \frac{a’}{2}=\frac{1-\cos a’}{2}\end{eqnarray}$$

と導き出すことができます。最後はtanです。tanは

$$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$$

の公式を使います。これより、

$$\tan^2 a=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$

とします。これに

$$a=\frac{a’}{2}$$

を代入すると、

$$\tan^2 \frac{a’}{2}=\frac{\sin^2\frac{a’}{2} }{\cos^2 \frac{a’}{2}}$$

また、先ほど求めたsinとcosの半角の公式を代入すると、

$$\begin{eqnarray}\tan^2\frac{a’}{2}=\frac{\frac{1-\cos a’}{2}}{\frac{1+cos a’}{2}}\end{eqnarray}$$

となり、左辺の分母と分子に2を掛けると、

$$\begin{eqnarray}\tan^2\frac{a’}{2}=\frac{1-\cos a’}{1+cos a’}\end{eqnarray}$$

となり、tanの半角の公式を導き出すことができます。

 

 

 

4.(応用)三倍角の公式の導き方

三倍角の公式も加法定理と二倍角の公式使うことで導き出せます。

$$\sin 3a=3\sin a – 4\sin^3 a$$

$$\cos 3a=4\cos3^3 a – 3\sin a$$

上の式が3倍角の公式です。この式の3aを

$$=\sin 3a=\sin (2a+a)$$

$$\cos 3a=\cos (2a+a)$$

のように変更することで、これまでやった火砲定理で導き出すことができます。

こちらはぜひ自分の力でチャレンジしてみてください。わからなかった場合は下の連絡でお知らせください。

公式を使ってみよう!

例題1 sin15°の値を求めよ。

半角の公式

$$\begin{eqnarray}\sin^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}\end{eqnarray}$$

より、

$$\begin{eqnarray}\sin^2 =\frac{1-\cos a}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray}$$

$$\sin 15°=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$

まとめ

加法定理を使うことによって、二倍角の公式、半角の公式などが導き出すことができます。なので、絶対に加法定理を忘れないようにして下さい。

  

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