【仙台市の中3生必見!】H28年度前期中間考査数学予想問題

宮城県の中学生!ほとんどの中学生が一学期中間考査まで残り一ヶ月を切りましたね!

中総体の練習も重なってとても忙しい日々をお過ごしかと思いますが、その後すぐに待ち構えている定期考査の対策も忘れてはいけません 😉

忙しいみなさんのために 😆

櫻學舎では宮城県の各中学校で行われた1学期中間考査の過去問題を徹底分析してオリジナル予想問題を作成しました。

今回は中学校3年生の数学を公開!!

少し長いけど、みんな、ついてきてね!

【一学期中間考査中3数学】試験の構成

試験範囲

ほとんどの仙台市の学校が毎年、中3の前期中間考査においては「多項式と平方根」が試験範囲になるようです。

東京書籍の教科書「新しい数学」でいうとP8〜P65

多項式から【多項式の計算】【因数分解】【式の計算の利用】

平方根から【平方根】【根号を含む計算】

で各問題が出題されます。

今回はこの「多項式と平方根」から14個の予想問題を作りました。

大問数

これは当然ですが、担当の先生によってばらつきがあります。当塾で調べたところ、幅は大きいですが各学校で大問数8〜15までありました。

大問数15は一見多いと感じるかもしれませんが、安心してください。

先生A

1、次の計算をしなさい。

① \(\sqrt{ \mathstrut 80 }   \times\sqrt{ \mathstrut 15 }\)

② \(7\sqrt{ \mathstrut  2 }   \div(-\sqrt{ \mathstrut 63 })\)

2、次の計算をしなさい。

① \(\sqrt{ \mathstrut 108 }  -\sqrt{ \mathstrut 48 }\)

② \(\sqrt{ \mathstrut 3 }   +\sqrt{ \mathstrut 27 }-\frac{ 12 }{ \sqrt{ 3 } }\)

先生B

1、次の計算をしなさい

① \(\sqrt{ \mathstrut 80 }   \times\sqrt{ \mathstrut 15 }\)

② \(7\sqrt{ \mathstrut  2 }   \div(-\sqrt{ \mathstrut 63 })\)

③ \(\sqrt{ \mathstrut 108 }   -\sqrt{ \mathstrut 48 }\)

④ \(\sqrt{ \mathstrut 3 }   +\sqrt{ \mathstrut 27 }-\frac{ 12 }{ \sqrt{ 3 } }\)

このように「平方根の乗除の計算」と「平方根の加減の計算」を分けているかどうかの違いだけです 😎

さあ、ここから怒涛の予想問題14個です!

いってみよー!!

問題の構成

これが出る!その1 公式確認

「乗法公式」を完成させなさい。

①  \((x+a)(x+b)=\)

② \((a+b)^2=\)

③ \((a-b)^2=\)

④ \((a+b)(a-b)=\)

【解答】

①  \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)

② \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

③ \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

④ \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

【解説】

解説なんかありません。だって乗法公式だもの。

展開すれば等式が成り立ちますね!あとはしっかり覚えてください。

公式を覚えているかどうかを試す問題 😆 覚えていない方、怪しい方はまずはこれを徹底しよう!!

「因数分解の公式」を完成させなさい。

①  \(x^2+(a+b)x+ab=\)

② \(x^2+2ax+a^2=\)

③ \(x^2-2ax+a^2=\)

④ \(x^2-a^2=\)

【解答】

①  \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)

② \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)

③ \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)

④ \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\)

【解説】

これも絶対覚えてね!!(なにが解説やねん笑)

こちらも公式を書かせる問題。どちらが聞かれても答えられるようにしっかりと覚えておきましょうね 😉

これが出る!その2 平方根を求めなさい。

次の数の平方根を求めなさい。

① 9

② \(\frac{ 16 }{ 25}\)

③ 5

④ 2.6

⑤  \(\sqrt{ 49 }\)

【解答】

① \( ±3\)

②  \( ±\frac{ 4 }{ 5}\)

③  \( ±\sqrt{ 5 }\)

④  \( ±\sqrt{ 2.6 }\)

⑤  \(±\sqrt{ 7 }\)

【解説】

平方根の意味を押さえておきましょうか!

平方 = 2乗(面積の単位に \( cm^2\)(平方センチメートル)がありましたね)

根 = 前

つまり

平方根を求めなさい=2乗するを求めなさい=2乗してその数になる数を求めなさい。

となるわけです。

例えば①の問題、2乗して9になる数は何でしょうか?

そうです、 +3 と -3 ですね!これをまとめて ±3 と書きます。

では③はどうでしょうか?

2乗して 5 になる数は?

そう、綺麗な数(整数)はないんですよね・・・

そんなときに使うのが \( \sqrt{ }\) になります。

よって\( +\sqrt{ 5 }\) と \( -\sqrt{ 5 }\) これもまとめて \( ±\sqrt{ 5 }\) にするわけです。

⑤のタイプはできましたか?

\(\sqrt{ 49 }\)!?!?

ここで  \(\sqrt{ 49 }=±7\) だと思った君は要注意!!

49の平方根(2乗して49になる数)は ±7 でした。

でも敢えて \( \sqrt{ }\) を使うと\( ±\sqrt{49 }\)になるわけです。

ということは +7 に相当するのが \( +\sqrt{49 }\)で、 -7 に相当するのが \( -\sqrt{49 }\)となります。

つまり、\(\sqrt{ 49 }=7\) なんですね。

\(\sqrt{ 49 }=±7\)とする間違い、本当に多いので気をつけてください!ほんっとに多いんです。ほんっっとに多いんです。

もう一回言っちゃお、ほんっっっとに多いのです!気をつけてくださいね 😎

さて戻ります。

\(\sqrt{ 49 }=7\)なので、これは 7 の平方根を聞いていることと同じになります。

あとは先ほどと同じ、 7 の平方根は整数はないので、 \(±\sqrt{ 7 }\) になります。

平方根をきちんと理解しているかどうかですね。

【解答・解説はこちら】から詳しい解説をみることができます。確認してみてくださいね 🙂

これが出る!その3 式の展開

次の式を展開しなさい。

① \((x+4)(x+7)\)

②\((x+6)^2\)

③\((x-2)^2\)

④\((x+5)(x-5)\)

【解答】

①  \((x+4)(x+7)=x^2+11x+28\)

② \((x+6)^2=x^2+12x+36\)

③ \((x-2)^2=x^2-4x+4\)

④ \((x+5)(x-5)=x^2-25\)

【解説】

その1で出た乗法公式を実際に使ってみましょう!ということですね。

先ほどの乗法公式に数値当てはめてみてね。

先ほどの公式が使えるかどうかですね。

これが出る!その4 式の展開(応用)

次の式を展開しなさい。

① \((5x+6y)(5x-6y)\)

② \((x-y-5)(x-y+5)\)

③\((3x+8y)^2\)

【解答】

①   \((5x+6y)(5x-6y)=25x^2-36y^2\)

②  \((x-y-5)(x-y+5)=x^2-2xy+y^2-25\)

③ \((3x+8y)^2=9x^2+48xy+64y^2\)

【解説】

今回は式の展開の応用編です。ここでも極力乗法公式を使って解いてください。

どうやって使うのかって?

では説明いきましょう♪

\((5x+6y)(5x-6y)\)で\(5x\)を\(A\)、\(6y\)を\(B\)とおきましょう。

すると

\((5x+6y)(5x-6y)=(A+B)(A-B)\)とおけますよね。

すると乗法公式の4つ目\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)が使えます。

あとは\(A\)、\(B\)にそれぞれ\(5x\)、\(6y\)を戻してあげると

\((5x)^2-(6y)^2=25x^2-36y^2\)となるわけです。

\((x-y-5)(x-y+5)\)ではまず2つの()に\(x-y\)があることに気づくと思います。

\(x-y\)を\(A\)とおくと、

\((x-y-5)(x-y+5)=(A-5)(A+5)\)となり、また乗法公式が使える形になりました。

展開して得られた\(A^2-25\)の\(A\)に\(x-y\)を戻すと

\((x-y)^2-25=x^2-2xy+y^2-25\)がでてきます。

\((3x+8y)^2\)でも \((3x)=A\)、\((8y)=B\)とおくと

\((3x+8y)^2=(A+B)^2\)となり乗法公式が適用できます。

乗法公式を使って展開した\(A^2+2AB+B^2\)に再び \((3x)=A\)、\((8y)=B\)を戻すと

\((3x)^2+2(3x)(8y)+(8y)^2=9x^2+48xy+64y^2\)がでてきます。

展開の応用になっても、何かの文字で置いてあげるといつも見慣れた乗法公式が出てくると思います。

最後に置いた文字を戻すのだけ忘れないようにしてくださいね!

これが出る!その5 因数分解

次の式を因数分解しなさい。

① \(14m^2n-7mn^2\)

② \(x^2-25x+24\)

③ \(x^2-169\)

④ \(a^2b-2ab-8b\)

【解答】

①  \(14m^2n-7mn^2=7mn(2m-n)\)

②  \(x^2-25x+24=(x-24)(x-1)\)

③ \(x^2-169=(x+13)(x-13)\)

④ \(a^2b-2ab-8b=b(a-4)(a+2)\)

【解説】

さて次は因数分解です。

因数分解ではまず共通因数があるかどうかを確認してください。その1で出てきた因数分解の公式に当てはめるのはその後です。

\(14m^2n-7mn^2\)をみると \(7mn\)という共通因数がありますね。

共通因数がある場合には、共通因数でくくる!

\(14m^2n-7mn^2=7mn(2m-n)\)

\(x^2-25x+24\)には共通因数がありませんよね。次に因数分解の公式を確認します。

\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)でしたね!

つまり、掛けて 24 、足して -25 になる数を探せばいいわけです。

-24 と -1 がそれにあたることがわかります。

よって答えは\((x-24)(x-1)\)です。

③も同じように共通因数はありませんが、因数分解の公式に当てはめることができます。

④は共通因数\(b\)がありますよね。

\(b\)でくくると \(a^2b-2ab-8b=b(a^2-2a-8)\)になります。

しかしここで終わらせてはいけません!

因数分解とは「それ以上分解できない形(因数)まで分解すること」

()の中をみると\(a^2-2a-8\)はまだ因数分解できますね。因数分解の公式を使ってここも分解してあげれば、最終的に \(a^2b-2ab-8b=b(a-4)(a+2)\)となることがわかると思います。

「因数分解しなさい」という問題が出てきたら、

①共通因数でくくる

②因数分解の公式に当てはめる

この順番を徹底しましょう!

④ \(a^2b-2ab-8b\)のタイプは、まさにこの①→②の流れで解く問題ですね。

これが出る!その6 根号を理解しているか

次の数を根号を使わずに表しなさい。

①  \(\sqrt{ 81 }\)

② \(\sqrt{ (-3)^2 }\)

【解答】

①  \(\sqrt{ 81 }=9\)

② \(\sqrt{ (-3)^2 }=3\)

【解説】

①は先ほどお話ししたやつですね!

決して

\(\sqrt{ 81 }=±9\)としないように!!

② \(\sqrt{ (-3)^2 }=\sqrt{ 9}=3\)

先に √ の中を計算すればいつも見慣れた式になりますね。

ここは根号( √ )をきちんと理解しているかどうかを問う問題です。混乱してきたら、平方根の基本に戻ろう!

あくまでも

49 の平方根(2乗して49になる数)は  ±7

根号を使って表すと\(±\sqrt{ 49 }\)

\(+\sqrt{ 49 }=+7\)

\(-\sqrt{ 49 }=-7\)

これが出る!その7 平方根の積と商

次の計算をしなさい。

① \(\sqrt{ \mathstrut 80 }   \times\sqrt{ \mathstrut 15 }\)

② \(7\sqrt{ \mathstrut  2}   \div(-\sqrt{ \mathstrut 63 })\)

【解答】

①  \(\sqrt{ \mathstrut 80 }   \times\sqrt{ \mathstrut 15 }=20\sqrt{ \mathstrut 3 }\)

② \(7\sqrt{ \mathstrut  2}   \div(-\sqrt{ \mathstrut 63 })=-\frac{ \sqrt{ 14} }{ 3}\)

【解説】

平方根の計算では、まず\(\sqrt{}\)の中が簡単にできるときは簡単にしましょう!

①の場合は\(\sqrt{80}\)がまず簡単にできます。

\(\begin{eqnarray}\sqrt{80}&=& \sqrt{2\times2\times2\times2\times 5 }  \\ &=&  \sqrt{2^2\times2^2\times5} \\ &=&  \sqrt{2^2}\times\sqrt {2^2}\times\sqrt {5} \\ &=&  2\times2\times\sqrt{5} \\ &=&  4\sqrt{5}\end{eqnarray}\)

ですね。

\(\sqrt{15}\)は簡単にはできませんが、\(\sqrt{15}=\sqrt{5}\times\sqrt{3}\)に直すことができるので、先ほどの式が

\(4\sqrt{5}\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}\)になります。

\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\)になるの踏まえると、

\(4\times5\times\sqrt{3}=20\sqrt{3}\)になるわけです。

②もまずは\(\sqrt{}\)の中身が簡単にできるものがあれば、簡単にするところから始めましょう。

\(\begin{eqnarray}\sqrt{63}&=& \sqrt{3\times3\times7 }  \\ &=&  \sqrt{3^2\times7} \\ &=&  \sqrt{3^2}\times\sqrt {7} \\ &=&  3\times\sqrt{7} \\ &=&  3\sqrt{7}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}7\sqrt{ \mathstrut  2}   \div(-\sqrt{ \mathstrut 63 })&=& 7\sqrt{ \mathstrut  2}   \div(-3\sqrt{ \mathstrut 7 })  \\&=&7\sqrt{ \mathstrut  2}   \times(-\frac{1}{3 \sqrt{ 7} })\\ &=&  -\frac{7\sqrt{ 2}}{3 \sqrt{ 7} }\\ &=&   -\frac{7\sqrt{ 2}\times\sqrt{ 7}}{3 \sqrt{ 7} \times\sqrt{ 7}}\\ &=& -\frac{7\sqrt{ 14}}{21}  \\ &=& -\frac{\sqrt{ 14}}{3}\end{eqnarray}\)

これが出る!その8 平方根の近似値

\(\sqrt{6}=2.449\)、\(\sqrt{60}=7.746\)として次の値を求めなさい。

① \(\sqrt{600}\)

② \(\sqrt{6000}\)

③ \(\sqrt{0.06}\)

【解答】

①  \(\sqrt{600}=24.49\)

② \(\sqrt{6000}=77.46\)

③ \(\sqrt{0.06}=0.2449\)

【解説】

このタイプの問題は \(\sqrt{600}\)や\(\sqrt{6000}\)や\(\sqrt{0.06}\)を、\(\sqrt{6}\)や\(\sqrt{60}\)を使って表します。

① は \(\sqrt{600}=10\sqrt{6}\)と表せますね。

\(\sqrt{6}=2.449\)だったので、

\(10\times\sqrt{6}=10\times2.449\)となり、

24.49 になるわけです。

 

③の√ の中が小数のタイプは分数に直しましょう。

\(0.06=\frac{6}{100}\)と直すことができます。

つまり\(\begin{eqnarray}\sqrt{0.06}&=& \sqrt{\frac{6 } {100}} \\ &=&  \frac{\sqrt{6 } }{\sqrt{100}}\\ &=&  \frac{\sqrt{6 } }{10} \end{eqnarray}\)

ここで\(\sqrt{6}=2.449\)だったので、

\(\frac{2.449}{10}=0.2449\)

になります。

このタイプの問題は

このタイプの問題は \(\sqrt{600}\)や\(\sqrt{6000}\)や\(\sqrt{0.06}\)を、\(\sqrt{6}\)や\(\sqrt{60}\)を使って表わすことを徹底すること!

これが出る!その9 平方根の加法と減法

次の計算をしなさい。

① \(\sqrt{ \mathstrut 108 }  -\sqrt{ \mathstrut 48 }\)

② \(\sqrt{ \mathstrut 3 }   +\sqrt{ \mathstrut 27 }-\frac{ 12 }{ \sqrt{ 3 } }\)

【解答】

①  \(\sqrt{ \mathstrut 108 }  -\sqrt{ \mathstrut 48 }=2\sqrt{ 3 }\)

② \(\sqrt{ \mathstrut 3 }   +\sqrt{ \mathstrut 27 }-\frac{ 12 }{ \sqrt{ 3 } }=0\)

【解説】

平方根の加減では、決して√ の中を足したり引いてはいけません。

①で \(\sqrt{ \mathstrut 108 }  -\sqrt{ \mathstrut 48 }=\sqrt{ \mathstrut 60 }\)としてはダメですよ!!

平方根の加減ができるのは√ の中身が同じとき。

\(\sqrt{ 108 } \)と \(\sqrt{ 48 }  \)はこのままでは √ の中が同じではありませんが、それぞれ簡単にすると

\(\sqrt{ 108 }=6\sqrt{ 3 } \)

\(\sqrt{ 48 }=4\sqrt{ 3 } \)

となり、√ の中身が同じになります。

あとは\(\sqrt{ 3 } \)を文字のように扱ってあげれば、\(2\sqrt{ 3 } \)になることがわかると思います。

②も同じように √ の中身が同じになり、計算できるようになるので、ぜひやってみてくださいね 🙂

平方根の加減では、 √ の中身が揃っていなければ計算できません。まずは √ の中身を出来るだけ簡単にして、揃うかどうか確認しましょう 😆

これが出る!その10 図形の性質の証明

スライド1

縦が\(P(m)\)、横が\(Q(m)\)の長方形の土地の周囲に幅\(A(m)\)の道がある。この道の面積を\(S(m²)\)、道の真ん中を通る線の長さを\(L(m)\)とするとき、\(S=AL\)となることを証明しなさい。

【解答】

一番外側の長方形の縦の長さは\((P+2A)m \)、長方形の横の長さは\((Q+2A)m \)なので、

道の面積 S は、

\(\begin{eqnarray}S&=&(P+2A) (Q+2A)-PQ\\ &=&  PQ+2AP+2AQ+4A^2-PQ\\ &=&  2AP+2AQ+4A^2\end{eqnarray}\)

・・・(1)

道の真ん中を通る線は長方形で、その縦の長さは\((P+A)m \)、横の長さは\((Q+A)m \)なので、

道の真ん中を通る線の長さLは、

\(\begin{eqnarray}L&=&2\times(P+A)+2\times(Q+A)\\ &=&  2P+2A+2Q+2A\\ &=&  2P+2Q+4A\end{eqnarray}\)

従って

\(\begin{eqnarray}AL&=&A(2P+2Q+4A)\\ &=& 2AP+2AQ+4A^2 \end{eqnarray}\)

・・・(2)

(1)、(2)より\(S=AL \)が成り立つ。

【解説】

解答の通りです。

図形の性質の証明の典型問題です。円になった問題や、図形が少し変わっても落ち着いて考えてみよう!

 

これが出る!その11 数の性質の証明

3つの続いた整数では、いちばん大きい数といちばん小さい数の平方の差は、真ん中の数の4倍に等しくなる。このことを中央の整数を \(n \)として証明しなさい。

【解答】

中央の整数を\(n \)とすると、連続する3つの整数はそれぞれ\(n-1 \),\(n \),\(n+1 \)とおける。

一番大きい数の平方は\((n+1)^2=n^2+2n+1 \)

一番小さい数の平方は\((n-1)^2=n^2-2n+1 \)

一番大きい数の平方から一番小さい数の平方を引いてあげると、

\((n+1)^2-(n-1)^2=4n \)となる。

これは真ん中の数\(n \)の4倍と等しい。

【解説】

証明の通りです。

このタイプの問題はある整数を文字を使って置くのがポイントです。今回の問いのように問題文に「真ん中の数を \(n \)としなさい」などの記述がある場合はそれに従い、ない場合は自分でどれかを文字で置くようにしましょう。

連続する整数や、連続する奇数、連続する偶数などは頻出なので是非とも押さえてから試験に臨みたいところですね!

これが出る!その12 因数分解(応用)

次の因数分解をしなさい。

①  \(x^2-6x+9-y^2\)

②  \(a^3+b-a^2b-a\)

【解答】

①   \(x^2-6x+9-y^2=(x+y-3)(x-y-3)\)

② \(a^3+b-a^2b-a=(a+1)(a-1)(a-b)\)

【解説】

因数分解の応用問題でも、まず確認するのは「共通因数があるかどうか」しかし①も②の問題でも共通因数はありませんね。かと言って因数分解の公式も適用が難しそうです。

そんなときは、分けて考える

\(x^2-6x+9-y^2\)の場合、まず前半3つの\(x^2-6x+9\)に注目すると、因数分解の公式が使えます。

\(x^2-6x+9=(x-3)^2\)

すると

\((x-3)^2-y^2\)になります。

\(x-3\)を\(A\)とおくと、\(A^2-y^2\)になるので因数分解の公式が適用できますね。

\(A^2-y^2=(A+y)(A-y)\)となり、最後に\(A\)を\(x-3\)に戻してあげると

\((x+y-3)(x-y-3)\)になります。

この問題はまず並びかえましょう。

\(a^3+b-a^2b-a=a^3-a^2b-a+b\)

次に前半2つと後半2つにわけてそれぞれ共通因数でくくります。

前半\(a^3-a^2b=a^2(a-b)\)

後半\(-a+b=-(a-b)\)

すると前半部分と後半部分にそれぞれ\((a-b)\)があることがわかります。

これを共通因数としてくくると、

\((a-b)(a^2-1)\)

まだ因数分解できるので、

\((a-b)(a+1)(a-1)\)

が出てくるわけです。

共通因数でくくることも、因数分解の公式を使うこともできそうにない時は、2つや3つに分けて考えてみよう!新たな共通因数がでてくることや、前半部分だけで因数分解の公式が使えることがあります。

まずはいろいろ試行錯誤してみましょう!

これが出る!その13 素因数分解を利用する問題

  \(\sqrt{ \frac{ 28a }{ 3}} \)が正の整数にするような自然数のうちで最小のものを求めよ。

【解答】

\(a=21\)

【解説】

まずは根号( √ )の中身を簡単にしましょう。

\(\sqrt{ \frac{ 28a }{ 3}} =\sqrt{ \frac{ 2^2 \times7 \times{a}}{ 3}}\)

ここで問題は「  \(\sqrt{ \frac{ 28a }{ 3}} \)が正の整数にするような自然数を求めろ」でしたね。つまりこのまま分母があってはダメなのです。

だから\(a\)は今回の分母である3を約分してくれるものでなければならない。

3の倍数ですね!

さらに √ がとれるためには √ の中身がある数字の2乗になってなくてはならない。

しかし今回 √ の中身をみてみると、7 が2乗になっていないことがわかります。

よって\(a\)には 7 も含まなければならない。

7 を含みかつ3の倍数になる最も小さな自然数は 21 ということになるわけですね!

√ をなくすタイプの問題では、√ の中が何かの2乗になるように\(a\)を定めよう!

これが出る!その14 式の値

\(a-b=3\)、\(ab=5\)のとき、\(a^2+b^2\)の値を求めよ。

【解答】

19

【解説】

\(a-b=3\)の両辺を2乗すると、

\((a-b)^2=3^2\)

\(a^2-2ab+b^2=9\)になります。

ここで\(ab=5\)だったので、上の式に代入すると、

\(a^2-2\times5+b^2=9\)になり、移行すれば

\(a^2+b^2=19\)となるわけです。

与えられた式から式の値を求める場合は、与えられた式を2乗するなど、いろいろ試してみよう!解決の糸口になりますよ 😉

 まとめ

今回は1学期中間考査の中3数学で狙われるポイントをまとめました。

1.公式確認

2.平方根を求める

3.式の展開(公式の利用)

4.式の展開(応用)

5.因数分解(公式の利用)

6.根号をはずす問題

7.平方根の積と商を求める計算

8.平方根の近似値

9.平方根の加法と減法

10.図形の性質の証明

11.数の性質の証明

12.因数分解(応用)

13.素因数分解を利用する問題

14.式の値

本日もありがとうございました!
本日も最後まで読んでいただいてありがとうございました!1学期中間考査まで残り1ヶ月を切った今、部活で忙しいみなさんに少しでもお役に立てたら幸いです。質問はいつでも受け付けています。勉強以外の悩みでも、何でもご相談ください!
  

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ABOUTこの記事をかいた人

富永裕大

仙台市出身。1988年1月26日生まれ。28歳。当塾塾長。東京・宮城で10年の指導実績を有する。これまで様々な有名塾を渡り歩き、各教室で絶大な支持を得るも塾のあり方に疑問を持ち独立。現在は塾長として様々な生徒の成績アップを実現している。好きな食べ物はお寿司。